autor: Ł K

Klasa2.gif (3249 bytes)

linia.gif (912 bytes)

Temat na dziś:    

"Rozkład wielomianu na czynniki"

linia.gif (912 bytes)

Zagadnienia dzisiejszej lekcji:

Na podstawie "Matematyka II" M. Bryński, N. Dróbka

 

  1. Definicja rozkładu

  2. Metody rozkładu

  3. Twierdzenia

  4. Przykłady

  5. Zadania

Uczniu!

Znasz już sposób dzielenia wielomianów, zapoznałeś się także z twierdzeniem Bézout. Z poprzednich lekcji wiesz również, jak rozwiązuje się równania wielomianowe. Na dzisiejszej lekcji poznasz metody rozkładu wielomianu na czynniki, co uczyni wiele obliczeń łatwiejszymi.

Powodzenia!

 

linia.gif (912 bytes)

Cel lekcji: zapoznanie się z metodami rozkładu wielomianu na czynniki


  1. Definicja rozkładu:

Rozkładem danego wielomianu na czynniki nazywamy przedstawienie go w postaci iloczynu wielomianów niższych stopni.

 
     
  2.Metody rozkładu:

1) wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias, np.:

 2x3 -3x2 +x = x(2x2 -3x +1)


 

2) grupowanie wyrazów, np.:

2a2 -2ab -3a +3b = 2a(a -b) -3(a -b) = (a -b)(2a -3)


 

3) stosowanie wzorów skróconego mnożenia, np.:

 x4 -1 = (x2 -1)(x2 +1)

 x3 -1 = (x -1)(x2 +x +1)


 

4) przedstawienie trójmianu kwadratowego w postaci iloczynowej, np.:

x2 -5x +6 = (x -2)(x -3)bo x1 = 2, x2 = 3

Jeśli znamy choć jeden pierwiastek danego wielomianu stopnia wyższego niż drugi, to możemy do rozkładu tego wielomianu zastosować twierdzenie Bézout.


 

 
  3. Twierdzenia:

 

 
  Twierdzenie 1 (o postaci iloczynowej):

Jeżeli wielomian n-tego stopnia:

  W(x) = anxn +...+a1x +a0  

ma n różnych pierwiastków x1, x2,..., xnto:

 W(x)  =  an(x -x1)(x -x2)(x -x3)...(x -xn).

 
 

 

 
  Twierdzenie 2:

Każdy wielomian stopnia większego od 2 jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej drugiego.

Uwaga! Powyższe twierdzenie głosi, że istnieje rozkład wielomianu na czynniki, ale nie wskazuje metody znalezienia tego rozkładu. Nie zawsze umiemy znaleźć taki rozkład.

Z ostatniego twierdzenia wynikają następujące wnioski:

  1. Każde równanie wielomianowe, którego stopień jest liczbą nieparzystą ma co najmniej jeden pierwiastek.
  2. Równanie wielomianowe stopnia parzystego może nie mieć pierwiastka, np. równanie x2 +1 = 0 nie ma pierwiastka rzeczywistego.

 

 
  4. Przykłady:

Rozłóż na czynniki wielomian F(x) = x3 -8x2 +21x -18.

Szukamy pierwiastków całkowitych wśród dzielników wyrazu wolnego.

F(1) = 1 -8 +21 -18 = -4 ą 0

F(-1) =  -1 -8 -21 -18 = -48 ą 0

F(2) = 8 -32 +42 -18 = 0

Zatem x1 = 2. Dzielimy F(x) przez x -2

(x3 -8x2 +21x -18) : (x -2) = x2 -6x +9

Mamy stąd x3 -8x2 +21x -18 = (x -2)(x2 -6x +9) = (x -2)(x -3)2


 

 
  5. Zadania  
  Zadanie 1: Rozłóż na czynniki wielomiany:
  1. x2 +4x +4
  2. a2 -16a +64
  3. x2 -49
  4. a2 -900
  5. 4x2 +4x +1
  6. 9x2 -30xy +25y2
  7. 49a2 -64
  8. 2x2 -8y2
 
 

 

 
Zadanie 2: Rozłóż na czynniki wielomiany:
  1. x3 +x2 -x -1
  2. x3 -4x2 +5x -2
  3. x5 -4x3 +x2 -4
  4. 2x3 -3x2 +6x -5

Odpowiedzi